如果y是u的函数，记为y=f(u)，u又是x的函数，记为u=g(x)，且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集非空，则确定了一个y关于x的函数y=f(g(x))，这时y叫做x的复合函数，其中u叫做中间变量，y=f(u)叫做外层函数，u=g(x)叫做内层函数。
复合函数的作用
复合函数是使用多个函数或表达式组合起来的函数,它有助于简化复杂的函数。复合函数是链式调用的一种实现,即结果的每一个步骤都是另一个函数的输入,形成一种函数链。复合函数具有联合分析效果,可以精确理解复杂的业务逻辑,包括对参数的把握以及变量之间的关系。
复合函数如何求导
规则：1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)*g'(x)；
2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)；
拓展：
1、设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果 Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y 之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为： y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。
2、定义域：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。
3、周期性：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f(μ)的最小正周期为 T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k属于R+).
4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。即“增+增=增；减+减=增； 增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。
