幂函数的定义

时间：2024-02-27 来源：养娃家

　　幂函数定义：形如y=x^a(a为实数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。例如函数y=x y=x、y=x、y=x(注:y=x=1/x y=x时x≠0)等都是幂函数。

　　幂函数的性质

　　幂函数的5个基本性质

　　1、定义域：幂函数的定义域是所有使得幂函数有意义的实数x的集合。对于幂函数来说，定义域为全体实数，即R。

　　2、值域：幂函数的值域是幂函数在定义域上能够取到的所有值的集合。对于幂函数来说，如果b>0，则值域为（0,+∞），如果b<0，则值域为（-∞，0）。当b=0时，幂函数的值域为{1}。

　　3、对称轴：幂函数的对称轴是指幂函数的图像关于该轴对称。对于幂函数来说，如果b是奇数，则对称轴为y轴（x=0）。如果b是偶数，则没有对称轴。

　　4、奇偶性：幂函数的奇偶性取决于指数b的奇偶性。当b是偶数时，幂函数是偶函数，即f（x）=f（-x）。当b是奇数时，幂函数是奇函数，即f（x）=-f（-x）。

　　5、单调性：当b>0时，幂函数是递增函数。当b<0时，幂函数是递减函数。当b=0时，幂函数是常数函数。

　　幂函数的单调区间

　　当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：

　　①当α为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增；

　　②当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增；

　　③当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）；

　　④当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。

　　当α为分数时（且分子为1），α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性：

　　①当α>0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增；

　　②当α>0，分母为奇数时，函数在第一三象限各象限内单调递增；

　　③当α<0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递减；

　　④当α<0，分母为奇数时，函数在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。

　　例题