什么是函数的奇偶性

时间：2024-02-27 来源：养娃家

　　函数的奇偶性是指在关于原点的对称点的函数值相等，是函数的基本性质之一，指其图象有某种对称性的一元函数。定义在对称区间1=(-a,a)或[-a,a](或数轴上关于原点对称的点集)上的(一元)实值函数y=f(x)。

　　函数的奇偶性怎么快速判断

　　函数的奇偶性可以通过定义法判断、用必要条件判断、用对称性判断、用函数运算判断、用求和或者求差法判断、用求商法判断。

　　定义法判断

　　用定义来判断函数奇偶性，是主要方法。首先求出函数的定义域，观察验证是否关于原点对称。其次化简函数式，然后计算f(-x)，最后根据f(-x)与f(x)之间的关系，确定f(x)的奇偶性。

　　用必要条件判断

　　具有奇偶性函数的定义域必关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要条件。

　　例如，函数y=的定义域(-co，1)U(1，+0o)，定义域关于原点不对称，所以这个函数不具有奇偶性。

　　用对称性判断

　　若f(x)的图象关于原点对称，则f(x)是奇函数。

　　若f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)是偶函数。

　　用函数运算判断

　　如果f(x)、g(x)是定义在D上的奇函数，那么在D上，f(x)+g(x)是奇函数，f(x).g(x)是偶函数。简单地，“奇+奇=奇，奇×奇=偶”。

　　类似地，“偶±偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇”。

　　用求和或者求差法判断

　　若f(-x)+f(x)=0(f(x)-f(-x)=2f(x))，则f(x）为奇函数，若f(x)-f(-x)=0(f(-x)+f(x)=2f(x))，则f(x）为偶函数。

　　用求商法判断

　　若f(-x)/f(x)=-1(f(x)不等于0)，则f(x)为奇函数，若f(-x)/f(x)=1(f(x)不等于0)，则f(x）为偶函数。

　　先分解函数为常见的一般函数，比如多项式x^n，三角函数，判断奇偶性。

　　根据分解的函数之间的运算法则判断，一般只有三种种f(x)g(x)、f(x)+g(x）,f(g(x))(除法或减法可以变成相应的乘法和加法)

　　若f(x)、g(x）其中一个为奇函数，另一个为偶函数，则f(x)g(x)奇、f(x)+g(x)非奇非偶函数，f(g(x))奇。

　　若f(x)、g(x）都是偶函数，则f(x)g(x)偶、f(x)+g(x）偶，f(g(x))偶。

　　若f(x)、g(x）都是奇函数，则f(x)g(x)偶、f(x)+g(x）奇，f(g(x))奇。

　　例题